Question

【題目】數(shù)列滿足對(duì)任意的恒成立，為其前n項(xiàng)的和，且，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；

（2）數(shù)列滿足，其中.

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求集合

Answer 1

【答案】（1）；（2）①過(guò)程見(jiàn)詳解；②.

【解析】

（1）先由題意，得到數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)題中條件，求出首項(xiàng)與公差，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；

（2）①根據(jù)（1）的結(jié)果，將化為，得到（），兩式作差整理，得到，進(jìn)而可求出，判斷出結(jié)果；

②先由得到，即，判斷出，得到，設(shè)，得到，分別研究對(duì)應(yīng)的情況，再由導(dǎo)數(shù)的方法證明當(dāng)，時(shí)， ，即可得出結(jié)果.

（1）因?yàn)閿?shù)列滿足對(duì)任意的恒成立，

所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，

因?yàn)?/span>，，所以，解得：，

因此；

（2）①因?yàn)閿?shù)列滿足，

，

所以（），

兩式作差可得：（），

又也滿足上式，所以，

記數(shù)列的前項(xiàng)和為，

則，

當(dāng)時(shí)，，兩式作差可得：，

所以，

即，

所以，因此，即數(shù)列為等比數(shù)列；

②由得，即，

記，由①得，所以，因此（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.

由得，所以.

設(shè)，由得，即；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不符合題意，

下面證明當(dāng)，時(shí)， ，

不妨設(shè)，

則在上恒成立，

所以在單調(diào)遞增；

所以，

所以，當(dāng)，時(shí)， 恒成立，不符合題意；

綜上，集合.