Question

如圖，在四面體ABCD中，AB⊥面BCD，面ABC⊥面ACD，且∠ACB=∠CBD=45°，
（1）求證：BC⊥CD；
（2）求直線AC與平面ABD所成角的大小．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得平面ABC⊥面BCD，面ABC⊥面ACD，從而CD⊥面ABC，由此能證明BC⊥CD．
（Ⅱ）由已知得面ABD⊥面BCD，BD是交線，過點C作CE⊥BD，則CE⊥平面ABD，連結(jié)AE，得∠CAE是直線與面ABD所成的角，由此能求出直線AC與平面ABD所成角．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB⊥平面BCD，AB?平面ABC，
∴平面ABC⊥面BCD，又面ABC⊥面ACD，面BCD∩面ACD=CD，
∴CD⊥面ABC，∵CD?平面ABC，
∴BC⊥CD．
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，AB?平面ABD，
∴面ABD⊥面BCD，BD是交線，
過點C作CE⊥BD，E是垂足，
則CE⊥平面ABD，連結(jié)AE，
得∠CAE是直線與面ABD所成的角，
由題意得BC是AC在面BCD上的射影，
由∠ACB=45°，得BC=

2

2

AC，
∵CE⊥BD，∠CBD=45°，∴CE=

2

2

BC=

1

2

AC，
在Rt△ACE中，sin∠CAE=

CE

AC

=

1

2

，∴∠CAE=30°，
∴直線AC與平面ABD所成角為30°．

點評：本題考查線面平行，線線垂直的性質(zhì)的應(yīng)用及證明，考查線面所成角的求法，解題時要注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系及性質(zhì)的合理運用，是中檔題．