Question

20．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為60°，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$（k∈R），則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知條件可考慮先求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$，這樣便需討論k的取值：k=0時，顯然$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}=1$，而k≠0時，可將${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$看成關于$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$的二次函數(shù)，該函數(shù)有最小值，并容易求得最小值為$\frac{3}{4}$，從而可以得到$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值，從而可以得出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件：$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+{k}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$；
（1）若k=0，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}=1$；
（2）若k≠0，根據(jù)題意$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}∈R$；
∴${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$的最小值為$\frac{4{k}^{2}-{k}^{2}}{4{k}^{2}}=\frac{3}{4}$；
∴$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$的最大值為$\frac{4}{3}$；
∴此時$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值為$\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
綜上得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 考查向量數(shù)量積的計算公式，不要漏了k=0的情況，掌握求二次函數(shù)最值的公式．