Question

5．已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由；
（Ⅲ） k為整數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，（x-k）（f′（x）-4x+2）+x+1＞0，求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)k=f′（1），再根據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）求參數(shù)的取值范圍，就求k的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，故當(dāng)x＞0時(shí)，令g（x）=$\frac{x+1}{ex-1}$+x，問題轉(zhuǎn)化為求g（x）的最值問題．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=e^x+4x-3，則f'（1）=e+1，
又f（1）=e-1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：y-e+1=（e+1）（x-1），
即（e+1）x-y-2=0…（4分）
（Ⅱ）∵f'（0）=e⁰-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，∴f'（0）•f'（1）＜0，…（6分）
令h（x）=f'（x）=e^x+4x-3，則h'（x）=e^x+4x＞0，
∴f'（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
∴f'（x）在[0，1]上存在唯一零點(diǎn)，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的極值點(diǎn)          …（8分）
（Ⅲ）（x-k）（f'（x）-4x+2）+x+1＞0可化為（x-k）（e^x-1）+x+1＞0．
等價(jià)于k＜$\frac{x+1}{ex-1}$+x　（x＞0）．①…（9分）
令g（x）=$\frac{x+1}{ex-1}$+x，則
g′（x）=$\frac{-xex-1}{?ex-1?2}$+1=$\frac{ex?ex-x-2?}{?ex-1?2}$．…（10分）
h（x）=e^x-x-2，h'（x）=e^x-1＞0，h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
而h（1）＜0，h（2）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上存在唯一的零點(diǎn)．…（12分）
故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零點(diǎn)．設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈（1，2）．
當(dāng)x∈（0，α）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（α，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（α）．
又由g′（α）=0，
可得e^α=α+2，∴g（α）=α+1∈（2，3）． …（13分）
由于①式等價(jià)于k＜g（α），故整數(shù)k的最大值為2．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值的問題，求參數(shù)的取值范圍經(jīng)常就是轉(zhuǎn)化為求某個(gè)函數(shù)的最值問題．