Question

2．（1）已知一次函數(shù)f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1時(shí)，f（x+1）-f（x）=2x，求函數(shù)f（x）的解析式．
（3）已知2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)f（x）=ax+b，利用f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，利用恒等式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可得出；
（2）要求二次函數(shù)的解析式，利用直接設(shè)解析式的方法，一定要注意二次項(xiàng)系數(shù)不等于零，在解答的過程中使用系數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，解方程組求的結(jié)果；
（3）首先，在所給的等式中，等號(hào)兩邊同時(shí)以$\frac{1}{x}$代x，得到一個(gè)方程組，把f（x）當(dāng)做未知數(shù)，求解即可．

解答 解：（1）由題意設(shè)f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）滿足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
化為ax+（5a+b）=2x+17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{5a+b=17}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+7．
（2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因?yàn)閒（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根據(jù)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-x+1；
（3）∵2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x+1，①
等號(hào)兩邊同時(shí)以$\frac{1}{x}$代x，
得：2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{2}{x}$+1，②
聯(lián)立①②，
由①×2-②，解得：
f（x）=$\frac{4}{3}$x-$\frac{2}{3x}$+$\frac{1}{3}$，（x≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查函數(shù)解析式的求解方法，構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用，屬于中檔題．