Question

2．[普通中學(xué)做]如圖所示，以O(shè)x為始邊作角α與β（0＜β＜α＜π），它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為$\frac{4}{5}$．
（1）求$\frac{1+sin2β}{1+si{n}^{2}β}$的值；
（2）若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$，求cosα的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的定義，求出β的正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，即可求解所求表達(dá)式的值．
（2）利用向量的數(shù)量積化簡求解cosα的值即可．

解答 解：（1）由三角函數(shù)定義可得cosβ=$\frac{4}{5}$，sinβ=$\frac{3}{5}$，則tanβ=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{1+sin2β}{1+si{n}^{2}β}$=$\frac{si{n}^{2}β+2sinβcosβ+co{s}^{2}β}{2si{n}^{2}β+co{s}^{2}β}$=$\frac{（tanβ+1）^{2}}{2ta{n}^{2}β+1}$=$\frac{（{\frac{3}{4}+1）}^{2}}{2×（\frac{3}{4}）^{2}+1}$=$\frac{49}{34}$．
（2）∵$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$，∴$|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|cos（α-β）$=$\frac{1}{2}$，∴cos（α-β）=$\frac{1}{2}$，∴$α-β=\frac{π}{3}$，
cosα=cos（$β+\frac{π}{3}$）=cosβcos$\frac{π}{3}$-sinβsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查任意角的三角函數(shù)，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．