Question

4．某電力部門需在A、B兩地之間架設(shè)高壓電線，因地理?xiàng)l件限制，不能直接測(cè)量A、B兩地距離．現(xiàn)測(cè)量人員在相距$\sqrt{3}$km的C、D兩地（假設(shè)A、B、C、D在同一平面上）測(cè)得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如圖），假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實(shí)際所須電線長(zhǎng)度為A、B距離的$\sqrt{5}$倍，問施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備多長(zhǎng)的電線？

Answer 1

分析 在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ABC中利用余弦定理求出AB．

解答 解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，
∴∠CAD=30°，∴AC=CD=$\sqrt{3}$，
在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，
由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BDC}=\frac{CD}{sin∠CBD}$，
∴BC=$\frac{CD•sin∠BDC}{sin∠CBD}$=$\frac{\sqrt{3}•sin75°}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
在△ABC中，由余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB
=3+（$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$）²-2$\sqrt{3}$•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$=5，
∴AB=$\sqrt{5}$．
故施工單位應(yīng)該準(zhǔn)備電線長(zhǎng)為$\sqrt{5}$$•\sqrt{5}$=5km．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正余弦定理，解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題．