已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,b1=
1
2
,a5-1恰為S4
1
b2
的等比中項,圓C:(x-2n)2+(y-
Sn
2=2n2,直線l:x+y=n,對任意n∈N*,直線l都與圓C相切.
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)若對任意n∈N*,cn=anbn,求{cn}的前n項和Tn的值.
考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓
分析:(Ⅰ)由圓C:(x-2n)2+(y-
Sn
2=2n2的圓心到直線l:x+y=n的距離等于半徑得到數(shù)列遞推式Sn=n2,n∈N*,然后由an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1求得數(shù)列的通項公式;設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由a5-1恰為S4
1
b2
的等比中項求得q=
1
2
,代入等比數(shù)列的通項公式求得{bn}的通項公式;
(Ⅱ)把數(shù)列{an},{bn}的通項公式代入cn=anbn,由錯位相減法求得{cn}的前n項和Tn的值.
解答: 解:(Ⅰ) 圓C:(x-2n)2+(y-
Sn
2=2n2的圓心為(2n,
Sn
),半徑為
2n
,對任意n∈N*,直線l:x+y=n都與圓C:(x-2n)2+(y-
Sn
2=2n2相切.
∴圓心(2n,
Sn
)到直線l:x+y-n=0的距離d為
2
n

d=
|2n+
Sn
-n|
2
=
2
n
,得
Sn
=n

Sn=n2,n∈N*,
當(dāng)n=1時,a1=S1=1;
當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1
綜上,對任意n∈N*,an=Sn-Sn-1=2n-1.
設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,∴bn=b1qn-1=
1
2
qn-1
,
a5-1恰為S4
1
b2
的等比中項,a5=9,S6=16,b2=
1
2
q
,
(9-1)2=64=16•
1
1
2
q
,解得q=
1
2

bn=b1qn-1=(
1
2
)n
;
(Ⅱ)∵Tn=1•
1
21
+3•
1
22
+5•
1
23
+…+(2n-1)•
1
2n
,
1
2
Tn=1•
1
22
+3•
1
23
+5•
1
24
+…+(2n-3)•
1
2n
+(2n-1)•
1
2n+1

兩式相減得
1
2
Tn=1•
1
2
+2•
1
22
+2•
1
23
+…+2•
1
2n
-(2n-1)•
1
2n+1

即:
1
2
Tn=
1
2
+(
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
)-(2n-1)•
1
2n+1

=
1
2
+
1
2
[1-(
1
2
)n-1]
1-
1
2
-(2n-1)•
1
2n+1

=
1
2
+1-
1
2n-1
-(2n-1)•
1
2n+1

Tn=3-
1
2n-2
-(2n-1)•
1
2n
點評:本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,考查了數(shù)列遞推式,訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的和,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=3sin(2x-
π
4
),則下列結(jié)論正確的是( 。
A、若f(x1)=f(x2)=0,則x1-x2=kπ(k∈Z)
B、函數(shù)f(x)在區(qū)間[-
π
8
3
8
π]上是增函數(shù)
C、函數(shù)f(x)的圖象與g(x)=3cos(2x+
π
4
)的圖象相同
D、函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(-
π
8
,0)對稱

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已知a1=2,a2=4,bn=an+1-an,bn+1=2bn+2.求證:
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(3)a1+a2+…+an=2n+2-n(n+1)-4.

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已知函數(shù)f(x)=2cos(2x+
π
3
)+
3
sin2x
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和最大值;
(2)設(shè)△ABC的三內(nèi)角分別是A、B、C.若f(
C
2
)=
1
2
,且AC=1,BC=3,求邊AB和sinA的值.

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如圖,在做擲飛鏢游戲時,靶心的高度為1.8米,各靶圈是半徑分別是10厘米、20厘米、30厘米的同心圓,分別對應(yīng)第10、9、8環(huán).?dāng)S鏢人高1.8米,投擲點在高于頭頂20厘米處,人離靶7米,且飛鏢在離人3米處達(dá)到最大高度2.4米.假定飛鏢總不偏離與靶心所在的平面,問該飛鏢能否中靶?若中靶,是第幾環(huán)?

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當(dāng)參數(shù)θ變化時,動點P(2cosθ,3sinθ)所確定的曲線為(  )
A、直線B、圓C、橢圓D、雙曲線

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已知
a
=(m,2),
b
=(2,3),若
a
b
,則實數(shù)m的值是( 。
A、-2
B、3
C、
4
3
D、-3

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已知f(x)=2x,g(x)是一次函數(shù),并且點(2,2)在函數(shù)f[g(x)]的圖象上,點(2,5)在函數(shù)g[f(x)]的圖象上,求g(x)的解析式.

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