Question

【題目】如圖所示，菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2，它們所在的平面互相垂直，DF⊥平面ABCD且DF.

（1）求證：EF//平面ABCD；

（2）若∠ABC=∠BCE，求二面角A﹣BF﹣E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）要線面平行，即證直線在面外且直線平行于平面內(nèi)的一條直線，故過點E作EH⊥BC于構(gòu)造平行四邊形即可得到線線平行.

（2）連接HA，根據(jù)題意，AH⊥BC，以H為原點，HB，HA，HE為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面BAF和平面BEF的法向量，利用法向量求出二面角的余弦值.

（1）過點E作EH⊥BC，連接HD，EH，

因為平面ABCD⊥平面BCE，EH平面BCE，

平面ABCD∩平面BCE=BC，

所以EH⊥平面ABCD，

因為FD⊥ABCD，FD，

所以FD//EH，FD=EH，故平行四邊形EHDF，

所以EF//HD，

由EF平面ABCD，HD平面ABCD，

所以EF//平面ABCD；

（2）連接HA，根據(jù)題意，AH⊥BC，

如圖：

以H為原點，HB，HA，HE為x，y，z軸建立空間直角坐標系，

則A（0，，0），B（1，0，0），E（0，，），F（-2，，），

則（﹣1，，0），（﹣1，0，），（﹣3，，），

設(shè)平面BAF的法向量為（x，y，z），

，得（，1，2），

設(shè)平面BEF的法向量為，

由，得，

由cos，

所以二面角A﹣FB﹣E的余弦值為.