Question

6．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f（x）＞0，且x，y∈（0，+∞）時(shí)總有f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求證：f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）；
（2）證明：函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若f（3）=1，且f（a）＜f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）需要特別注意構(gòu)造方法，x=y•$\frac{x}{y}$即可．
（2）抽象函數(shù)的單調(diào)性證明需要特別注意構(gòu)造方法，構(gòu)造出$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），可應(yīng)用已知得f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到結(jié)論．
（3）根據(jù)若f（3）=1，f（9）=2，根據(jù)運(yùn)算法以及單調(diào)性求得a的范圍．

解答 解：（1）證明：由題意得：
f（x）=f（y•$\frac{x}{y}$）=f（y）+f（$\frac{x}{y}$），
故f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（2）證明：設(shè)0＜x₁＜x₂，
∴f（x₁）=f（${x}_{2}•\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）=f（x₂）+f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f（x）＞0，
∵$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$∈（0，1），∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上為減函數(shù)；
（3）若f（3）=1，
∴f（9）=2，
∴f（a）＜f（a-1）+f（9）=f（9（a-1）），
∴a＞9（a-1），
∴1＜a＜$\frac{9}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的運(yùn)算法則以及單調(diào)性的證明和解不等式．