Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₃=$\frac{1}{5}$，a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，則數(shù)列{a_n•a_n+1}前10項的和為$\frac{10}{21}$．

Answer 1

分析 把已知數(shù)列遞推式變形，得到數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為公差的等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的通項公式，代入a_n•a_n+1，然后利用裂項相消法求和．

解答 解：由a_n-a_n+1=2a_n•a_n+1，得$\frac{{a}_{n}-{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}=2$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=2$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以2為公差的等差數(shù)列，
有${a}_{3}=\frac{1}{5}$，∴$\frac{1}{{a}_{3}}=5$，
則$\frac{1}{{a}_{n}}=5+2（n-3）=2n-1$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$，
則a_n•a_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{a_n•a_n+1}前10項的和為$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2×10-1}-\frac{1}{2×10+1}）$
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{21}）=\frac{1}{2}×\frac{20}{21}=\frac{10}{21}$．
故答案為：$\frac{10}{21}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項相消法求數(shù)列的和，是中檔題．