Question

16．已知a+2b=2，a＞0，b＞0，則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 a+2b=2，a＞0，b＞0，可得2a=4-4b＞0，解得0＜b＜1．于是$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4-4b}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4}$-1=f（b），利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：∵a+2b=2，a＞0，b＞0，
∴2a=4-4b＞0，解得0＜b＜1．
則$\frac{1}{2a}$+$\frac{2a}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4-4b}$=$\frac{1}{4-4b}+\frac{4}$-1=f（b），
f′（b）=$\frac{1}{4（1-b）^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=$\frac{（4-3b）（5b-4）}{4（b-^{2}）^{2}}$=$\frac{-15（b-\frac{4}{5}）（b-\frac{4}{3}）}{4（b-^{2}）^{2}}$，
當$0＜b＜\frac{4}{5}$時，f′（b）＜0，此時函數(shù)f（b）單調(diào)遞減；當$\frac{4}{5}＜b＜1$時，f′（b）＞0，此時函數(shù)f（b）單調(diào)遞增．
∴當b=$\frac{4}{5}$時，函數(shù)f（b）取得最小值$\frac{9}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．