Question

9．已知函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1），且函數(shù)的圖象過點(diǎn)（2，1）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若f（m²-m）＜1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)函數(shù)圖象過點(diǎn)（2，1）求出實(shí)數(shù)a；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{m^2-m＞0}\\{m^2-m＜2}\end{array}\right.$，解出不等式即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，1），
∴f（2）=1，即log_a2=1，解得a=2，
因此，f（x）=log₂x（x＞0）；
（2）$f（{m^2}-m）={log_2}（{m^2}-m）$，
∵f（m²-m）＜1且1=log₂2，
∴l(xiāng)og₂（m²-m）＜2，
該不等式等價(jià)為：$\left\{\begin{array}{l}{m^2-m＞0}\\{m^2-m＜2}\end{array}\right.$
解得，-1＜m＜0或1＜m＜2，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-1，0）∪（1，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式的解法，屬于中檔題．