Question

20．如圖，已知拋物線方程y²=2px（p＞0），AB是過焦點(diǎn)F的一條弦，點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求證：
（1）y₁y₂=-p²，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$（θ為直線AB的傾斜角）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，再利用韋達(dá)定理，即可得到結(jié)論；
（2）利用拋物線的定義，可得|AB|=x₁+x₂+p；結(jié)合y₁y₂=-p²，進(jìn)一步得到|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．

解答 證明：（1）設(shè)直線AB的方程為x=my+$\frac{p}{2}$，代入y²=2px，可得y²-2pmy-p²=0，
∴y₁y₂=-p²，∴x₁x₂=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}=\frac{{p}^{4}}{4{p}^{2}}=\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）∵AB是過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)的弦，
∴由拋物線定義可得|AB|=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+p；
由（1）知，y₁y₂=-p²，y₁+y₂=2pm，
∴${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=4p²m²+2p²，
又${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=2p（x₁+x₂）=4p²m²+2p²，∴x₁+x₂=2pm²+p，
∴θ=90°時(shí)，m=0，∴|AB|=2p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$；θ≠90°時(shí)，m=$\frac{1}{tanθ}$，|AB|=$\frac{2p}{ta{n}^{2}θ}$+2p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．
∴|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查弦長的計(jì)算，屬于中檔題