Question

12．已知A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的點(diǎn)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，1），有$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，求點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 設(shè)出點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)A（a，b），由$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，得到這兩個(gè)坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)A點(diǎn)在橢圓上，滿足橢圓方程，即可得x，y的關(guān)系，亦即軌跡方程．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)（a，b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$，B（2，1），
∴（x-a，y-b）=2（2-x，1-y），
∴x-a=4-2x，y-b=2-2y，
∴a=3x-4，b=3y-2，
∵A為橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的點(diǎn)，∴$\frac{{a}^{2}}{25}$+$\frac{^{2}}{16}$=1，
∴化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{9}{25}$（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{9}{16}$（y-$\frac{2}{3}$）²=1．

點(diǎn)評(píng) 在求解軌跡方程的問(wèn)題時(shí)，一般都是“求什么設(shè)什么”的方法，再利用題中的條件列出等式即可得到軌跡方程，這也是高考中學(xué)生值得注意的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)．