Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，A₁A=AB=2．
（1）求證：AB₁∥平面BC₁D；
（2）過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，求證：直線BE⊥平面AA₁C₁C
（3）若四棱錐B-AA₁C₁D的體積為3，求BC的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證明線面平行，利用線面平行的判定定理進(jìn)行證明，關(guān)鍵找到線線平行．
（2）要證明線面垂直，利用線面垂直的判定定理進(jìn)行證明，關(guān)鍵找到線線垂直．
（3）利用棱錐的體積公式直接進(jìn)行求解．

解答： （1）證明：連接B₁C 設(shè)B₁C∩BC₁=O，連接OD
∵BCC₁ B₁是平行四邊形∴點(diǎn)O是B₁ C的中點(diǎn)
∵D為AC的中點(diǎn)∴OD是△AB₁C的中位線．
∴AB₁∥OD
AB₁?平面BC₁D  OD?平面BC₁D
AB₁∥平面BC₁D；
（2）∵A₁A⊥平面ABC，A₁A?平面AA₁C₁C，∴平面AA₁C₁C⊥平面ABC
又平面AA₁C₁C∩平面ABC=AC，BE⊥AC，BE?平面ABC，
∴直線BE⊥平面AA₁C₁C
（3）由（2）知BE的長度是四棱錐B-AA₁C₁D的體高A₁A=AB=2．設(shè)BC=x＞0．
在Rt△ABC中，AC•BE=AB•BC，∴BE=

2x

AC

∴SAA1C1D=

1

2

•(A1C1+AD)•A1A=

1

2

3

2

AC•2=

3

2

AC，
∴VAA1C1D=

1

3

SAA1C1D•BE=

1

3

•

3

2

AC•

2x

AC

=3，
∴x=3
即∴BC=3
故：（1）（2）略
（3）BC=3

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)：線面平行的判定，線面垂直的判定，幾何體中棱錐的體積公式，要靈活應(yīng)用，屬于高考的常見題型．