Question

下面是關(guān)于f（x）=xsin（

π

2

-x）的四個命題：
p₁：圖象關(guān)于原點對稱
p₂：圖象關(guān)于y軸對稱
p₃：在[-3π，3π]上有6個零點
p₄：在[-3π，3π]上有7個零點，
其中的正確的為（　�。�

• A、p₁，p₃
• B、p₂，p₃
• C、p₁，p₄
• D、p₂，p₄

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),簡易邏輯

分析：利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡f（x），然后由奇函數(shù)的概念說明f（x）為減函數(shù)，從而判斷命題p₁正確；
舉反例說明命題p₂不正確；
通過求具體值說明命題p₃不正確，p₄正確．

解答： 解：f（x）=xsin（

π

2

-x）=xcosx．
對于p₁，
∵函數(shù)f（x）=xcosx的定義域為R，且f（-x）=-xcos（-x）=-xcosx=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，命題p₁正確；
對于p₂，
∵f（-1）=-cos1，f（1）=cos1，f（-1）≠f（1），
∴f（x）=xcosx的圖象不關(guān)于y軸對稱，命題p₂錯誤；
對于p₃，p₄，
∵f（0）=0，f（-

π

2

）=f（

π

2

）=f（-

3π

2

）=f（

3π

2

）=f（-

5π

2

）=f（

5π

2

）=0，
且在[-3π，3π]上不存在另外的x使得f（x）=0，
∴f（x）在[-3π，3π]上有7個零點，命題p₃不正確，p₄正確．
∴正確的命題是p₁，p₄．
故選：C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，訓(xùn)練了函數(shù)奇偶性的判斷方法，考查了三角函數(shù)值的求法，是中檔題．