Question

16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x的非負(fù)半軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A，B，已知A的橫坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，B的縱坐標(biāo)為$\frac{\sqrt{2}}{10}$，則2α+β=（　�。�

• A． π
• B． $\frac{2}{3}$π
• C． $\frac{5}{6}$π
• D． $\frac{3}{4}$π

Answer 1

分析 利用任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得tanα=2，tanβ=$\frac{1}{7}$，再利用兩角和的正切公式
求得 tan（2α+β）的值，結(jié)合2α+β的范圍，求得2α+β的值．

解答 解：由題意可得，A的縱坐標(biāo)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，B的橫坐標(biāo)為$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
即A（$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）、B（$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\frac{\sqrt{2}}{10}$），∴tanα=2，tanβ=$\frac{1}{7}$，
可得α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），β∈（0，$\frac{π}{6}$），∴2α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$）．
∵tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=-$\frac{4}{3}$，∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2α•tanβ}$=-1，
∴2α+β=$\frac{3π}{4}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角共公式，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．