Question

10．如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC⊥CD，AC=CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為$\sqrt{6}$+1．

Answer 1

分析 設∠ABC=α，∠ACB=β，求出AC，sinβ，利用余弦定理，即可求出對角線BD的最大值．

解答 解：設∠ABC=α，∠ACB=β，則AC²=4-2$\sqrt{3}$cosα，
由正弦定理可得sinβ=$\frac{sinα}{\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}}$，
∴BD²=3+4-2$\sqrt{3}$cosα-2×$\sqrt{3}$×$\sqrt{4-2\sqrt{3}cosα}$×cos（90°+β）=7-2$\sqrt{3}$cosα+2$\sqrt{3}$sinα=7+2$\sqrt{6}$sin（α-45°），
∴α=135°時，BD取得最大值$\sqrt{6}$+1．
故答案為：$\sqrt{6}$+1．

點評 本題考查余弦定理、正弦定理的運用，考查輔助角公式的運用，考查學生的計算能力，有難度．