Question

13．若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）．在某次數(shù)學趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機抽取1個數(shù)，且只能抽取一次，得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分．
（Ⅰ）寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；
（Ⅱ）若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)“三位遞增數(shù)”的定義，即可寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；
（Ⅱ）隨機變量X的取值為：0，-1，1分別求出對應的概率，即可求出分布列和期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)定義個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”有：125，135，145，235，245，345；
（Ⅱ）由題意知，全部“三位遞增數(shù)”的個數(shù)為${C}_{9}^{3}=84$，
隨機變量X的取值為：0，-1，1，
當X=0時，可以選擇除去5以外的剩下8個數(shù)字中選擇3個進行組合，即${C}_{8}^{3}$；
當X=-1時，首先選擇5，由于不能被10整除，因此不能選擇數(shù)字2，4，6，8，可以從1，3，7，9中選擇兩個數(shù)字和5進行組合，即${C}_{4}^{2}$；
當X=1時，有兩種組合方式，第一種方案：首先選5，然后從2，4，6，8中選擇2個數(shù)字和5進行組合，即${C}_{4}^{2}$；第二種方案：首先選5，然后從2，4，6，8中選擇1個數(shù)字，再從1，3，7，9中選擇1個數(shù)字，最后把3個數(shù)字進行組合，即${{C}_{4}^{1}C}_{4}^{1}$．
則P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{2}{3}$，P（X=-1）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{14}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{11}{42}$，

X	0	-1	1
P	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{14}$	$\frac{11}{42}$

EX=0×$\frac{2}{3}$+（-1）×$\frac{1}{14}$+1×$\frac{11}{42}$=$\frac{4}{21}$．

點評 本題主要考查離散型隨機變量的分布列和期望的計算，求出對應的概率是解決本題的關鍵．