Question

1．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬P-ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE、BD、BE．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC．試判斷四面體EBCD是否為鱉臑．若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）記陽馬P-ABCD的體積為V₁，四面體EBCD的體積為V₂，求$\frac{V_1}{V_2}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即可得出結論；
（Ⅱ）由已知，PD是陽馬P-ABCD的高，所以V₁=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}BC•CD•PD$．由（Ⅰ）知，DE是鱉臑D-BCE的高，BC⊥CE，所以V₂=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE$=$\frac{1}{6}BC•CE•DE$．即可求$\frac{V_1}{V_2}$的值．

解答 （Ⅰ）證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
因為ABCD為正方形，所以BC⊥CD，
因為PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD，
因為DE?平面PCD，
所以BC⊥DE，
因為PD=CD，點E是PC的中點，
所以DE⊥PC，
因為PC∩BC=C，
所以DE⊥平面PBC，
由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，
即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB；
（Ⅱ）由已知，PD是陽馬P-ABCD的高，所以V₁=$\frac{1}{3}{S}_{ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}BC•CD•PD$．
由（Ⅰ）知，DE是鱉臑D-BCE的高，BC⊥CE，
所以V₂=$\frac{1}{3}{S}_{△BCE}•DE$=$\frac{1}{6}BC•CE•DE$．
因為PD=CD，點E是PC的中點，
所以DE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD，
所以$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{3}BC•CD•PD}{\frac{1}{6}BC•CE•DE}$=$\frac{2CD•PD}{CE•DE}$=4

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．