Question

10．已知點A（-3，5），B（2，15），在直線l：3x-4y+4=0上存在一點P，使使|PA|+|PB|最小，則
（1）點P的坐標為P$（\frac{8}{3}，3）$；
（2）|PA|+|PB|的最小值為5$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）設點A（-3，5）關于直線l：3x-4y+4=0的對稱點為A′（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a+3}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{a-3}{2}-4×\frac{b+5}{2}+4=0}\end{array}\right.$，解得A′．可得直線A′B的方程，與l的方程聯(lián)立即可解出P；
（2））|PA|+|PB|的最小值=|A′B|．

解答 解：（1）設點A（-3，5）關于直線l：3x-4y+4=0的對稱點為A′（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-5}{a+3}×\frac{3}{4}=-1}\\{3×\frac{a-3}{2}-4×\frac{b+5}{2}+4=0}\end{array}\right.$，解得A′（3，-3）．
直線A′B的方程為：18x+y-51=0，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{3x-4y+4=0}\\{18x+y-51=0}\end{array}\right.$，解得P$（\frac{8}{3}，3）$．
（2））|PA|+|PB|的最小值=|A′B|=$\sqrt{{1}^{2}+1{8}^{2}}$=5$\sqrt{13}$．
故答案分別為：$（\frac{8}{3}，3）$；5$\sqrt{13}$．

點評 本題考查了點關于直線對稱點的求法、互相垂直的直線斜率之間的關系、中點坐標公式、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．