Question

15．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），n∈N^*均在函數(shù)y=x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=1，b₁b₂b₃=8，求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），n∈N^*均在函數(shù)y=x的圖象上，可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，利用遞推式即可得出．
（II）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由b₁=1，b₁b₂b₃=8，利用等比數(shù)列的通項公式可得q，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$），n∈N^*均在函數(shù)y=x的圖象上，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=n，化為${S}_{n}={n}^{2}$．
當n=1時，a₁=1；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當n=1時，也成立，∴a_n=2n-1．
（II）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵b₁=1，b₁b₂b₃=8，
∴1×q×q²=8，解得q=2，
∴$_{n}={2}^{n-1}$．
∴a_n+b_n=（2n-1）+2^n-1，
∴數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和T_n=[1+3+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=${n}^{2}+\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$
=n²+2ⁿ-1．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．