Question

17．已知x，y滿足：$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值是1．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，對(duì)a分類可知，若a≤0，則-a≥0，由圖可知使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解唯一，為（0，2），不合題意；若a＞0，則-a＜0，要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則直線y=-ax+z與直線x+y=2重合，由此求得a值．

解答 解：由約束條件$\left\{{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+y≤2}\\{x-y≤0}\end{array}}\right.$作出可行域如圖，

化目標(biāo)函數(shù)z=ax+y為y=-ax+z，
若a≤0，則-a≥0，由圖可知使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解唯一，為（0，2），不合題意；
若a＞0，則-a＜0，要使目標(biāo)函數(shù)z=ax+y取最大值時(shí)的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè)，則直線y=-ax+z與直線x+y=2重合，
此時(shí)a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．