Question

4．已知在△ABC中，角A、B、C的對邊為a，b，c，且b²=a²+c²-ac，b=1；
（Ⅰ）若A-C=$\frac{π}{6}$，求邊長c的值．
（Ⅱ）若a=2c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和余弦定理求出cosB的值，由內(nèi)角的范圍求出B，結(jié)合條件和內(nèi)角和定理求出角A和C，由正弦定理求出c的值；
（2）把a(bǔ)=2c代入b²=a²+c²-ac=3c²化簡得到b、c的關(guān)系，利用勾股定理判斷三角形的形狀，再由b=1求出c的值，代入三角形的面積公式求出△ABC的面積．

解答 解：（1）由b²=a²+c²-ac得，a²+c²-b²=ac，
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
因為0＜B＜π，所以B=$\frac{π}{3}$，則A+C=$\frac{2π}{3}$，
又A-C=$\frac{π}{6}$，解得A=$\frac{5π}{12}$、C=$\frac{π}{4}$，
由$\frac{c}{sinC}=\frac{sinB}$得，c=$\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
（2）∵a=2c，∴b²=a²+c²-ac=3c²，則$b=\sqrt{3}c$，
∴a²=b²+c²，則三角形為直角三角形，則A=$\frac{π}{2}$，
由b=1得，c=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}×1×\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了余弦定理，正弦定理，以及三角形的面積公式，屬于中檔題．