Question

13．已知正數(shù)x，y滿足|lg$\frac{x}{y}$|≤1，且|lg（x²y）|≤1，求xy的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算法則以及不等式之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵正數(shù)x，y滿足|lg$\frac{x}{y}$|≤1，且|lg（x²y）|≤1，
∴|lgx-lgy|≤1，且|2lgx+lgy|≤1，
即-1≤lgx-lgy≤1，且-1≤2lgx+lgy≤1，
設(shè)lgx+lgy=m（lgx-lgy）+n（2lgx+lgy），
得$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=1}\\{n-m=1}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{1}{3}$，n=$\frac{2}{3}$，
即lgx+lgy=-$\frac{1}{3}$（lgx-lgy）+$\frac{2}{3}$（2lgx+lgy），
∵-1≤lgx-lgy≤1，且-1≤2lgx+lgy≤1，
∴-$\frac{1}{3}$≤-$\frac{1}{3}$（lgx-lgy）≤$\frac{1}{3}$，且-$\frac{2}{3}$≤$\frac{2}{3}$（2lgx+lgy）≤$\frac{2}{3}$，
則-1≤-$\frac{1}{3}$（lgx-lgy）+$\frac{2}{3}$（2lgx+lgy）≤1，
即-1≤lgxy≤1，
則$\frac{1}{10}$≤xy≤10．

點評 本題主要考查不等式的范圍的應(yīng)用，根據(jù)不等式之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法進行分解是解決本題的關(guān)鍵．