Question

16．已知A、B是拋物線x²=2y上相異的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1．
（1）求證：直線AB恒過(guò)一定點(diǎn)．并求出該點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線AB與拋物線圍成的封閉區(qū)域的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，聯(lián)立拋物線方程，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，即可得出結(jié)論；
（2）利用積分表示面積，再采用換元法，利用導(dǎo)數(shù)，即可求直線AB與拋物線圍成的封閉區(qū)域的面積的最小值．

解答 （1）證明：由已知可得直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立拋物線方程得：x²-2kx-2b=0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
因?yàn)?\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，
所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{4}$=-1，可得b=1，
所以直線AB的方程為y=kx+1，恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）；
（2）解：|x₁-x₂|=$\sqrt{4{k}^{2}+8}$，
y=kx+1與拋物線圍成的封閉區(qū)域的面積S=${∫}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$（kx+1-$\frac{1}{2}$x²）=（$\frac{1}{2}$kx²+x-$\frac{1}{6}$x³）${|}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$k（x₁²-x₂²）+（x₁-x₂）-$\frac{1}{6}$（x₁³-x₂³）
=$\frac{1}{2}$k（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（x₁-x₂）-$\frac{1}{6}$（x₁³-x₂³）
=k²•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$+$\sqrt{4{k}^{2}+8}$-$\frac{1}{6}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$•（4k²+2），
設(shè)$\sqrt{4{k}^{2}+8}$=t（t≥2$\sqrt{2}$），
∴S=$\frac{1}{4}$（t²-8）t+t-$\frac{1}{6}$t（t²-6）=$\frac{1}{12}{t}^{3}$，
∴S′=$\frac{1}{4}{t}^{2}$≥0，
∴函數(shù)在[2$\sqrt{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t=2$\sqrt{2}$時(shí)，S_min=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線過(guò)定點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，難度大．