Question

13．設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=n²a_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
（I）證明數(shù)列{$\frac{n+1}{n}$S_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若b_n=$\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}$S_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n；．求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a_n用S_n-S_n-1代換，經(jīng)過化簡整理可得{$\frac{n+1}{n}$S_n}為等差數(shù)列，從而求出S_n；
（Ⅱ）由等差數(shù)列的通項公式求出S_n，代入S_n可求出數(shù)列{b_n} 的通項b_n，再由裂項相消求和計算即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）S_n=n²a_n-2n（n-1）=n²（S_n-S_n-1）-2n（n-1）（n≥2），
∴（n²-1）S_n-n²S_n-1=2n（n-1）（n≥2），
∴$\frac{n+1}{n}$S_n-$\frac{n}{n-1}$S_n-1=2（n≥2），
∴{$\frac{n+1}{n}$S_n}是首項為1，2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由$\frac{n+1}{n}$S_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴S_n=$\frac{2{n}^{2}-n}{n+1}$（n∈N^*），
∴b_n=$\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}$S_n=$\frac{1}{{n}^{2}（2n-1）}$•$\frac{n（2n-1）}{n+1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
則T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

點評 本題考查等差數(shù)列的定義和通項的求法，注意運用數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消法，考查運算能力，屬于中檔題．