Question

3．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+a{cos^2}$x+b，x∈R，且$f（0）=f（\frac{π}{4}）=1$．
（Ⅰ）求a，b的值及f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}{，_{\;}}\frac{π}{4}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用函數(shù)f（0）=f（$\frac{π}{4}$）=1，建立方程組求出a和b的值，進一步聽過三角函數(shù)的恒等變換求出函數(shù)的正弦形式，進一步求出函數(shù)的最小正周期．
（Ⅱ）直接利用函數(shù)的關(guān)系式，利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域，最后求出函數(shù)的最值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+aco{s}^{2}$x+b
由于：f（0）=f（$\frac{π}{4}$）=1，
所以：$\left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+a+b=1\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}a+b=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right.$
所以：$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+sin（2x-\frac{π}{3}）+$2cos²x-1
=sin2x+cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
所以：函數(shù)的最小正周期：T=$\frac{2π}{2}=π$，
（Ⅱ）由于：函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
當$-\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{4}$時，$-\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$．
所以：$-1≤\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$
即：函數(shù)的最大值為$\sqrt{2}$，函數(shù)的最小值為-1．

點評 本題考查的知識要點：利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的確定，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，主要考查學生的應(yīng)用能力．