Question

8．已知函數(shù)f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|，（a∈R）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a∈[-1，1]．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解，注意要對(duì)a進(jìn)行討論．

解答 當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|=e^x+$\frac{a}{e^x}$，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x-$\frac{a}{{e}^{x}}$=$\frac{{e}^{2x}-a}{{e}^{x}}$，且f（x）＞0恒成立，
由f′（x）＞0解得e^2x＞a，即x＞$\frac{1}{2}$lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0解得e^2x＜a，即x＜$\frac{1}{2}$lna，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
若f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，則$\frac{1}{2}$lna≤0，
解得0＜a≤1，即a∈（0，1]
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|=e^x在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，滿足條件．
當(dāng)a＜0時(shí)，y=e^x+$\frac{a}{e^x}$在R單調(diào)遞增，
令y=e^x+$\frac{a}{e^x}$=0，則x=ln$\sqrt{-a}$，
則f（x）=|e^x+$\frac{a}{e^x}$|在（0，ln$\sqrt{-a}$]為減函數(shù)，在[ln$\sqrt{-a}$，+∞）上為增函數(shù)
則ln$\sqrt{-a}$≤0，解得a≥-1
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，1]
故答案為：a∈[-1，1]

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．