Question

5．橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1上有n個(gè)不同的點(diǎn)P₁、P₂、…、P_n（n∈N^*），F(xiàn)是右焦點(diǎn)，{|P_nF|}組成公差為d=$\frac{3}{100}$的等差數(shù)列，則n的最大值為67．

Answer 1

分析 設(shè)P（x_n，y_n），P到右準(zhǔn)線的距離為d_n，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義算出|P_nF|=2-$\frac{1}{2}$x_n，結(jié)合題意數(shù)列{|P_nF|}組成公差為d=$\frac{3}{100}$的等差數(shù)列，得出關(guān)于橫坐標(biāo)x₁、x_n的等式，再利用橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)范圍，解之即可得到n的取值范圍，從而得出n的最大值．

解答 解：求得橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1的a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率e=$\frac{1}{2}$．
設(shè)P（x_n，y_n），P到右準(zhǔn)線x=4的距離為d_n，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，得|P_nF|=$\frac{1}{2}$d_n=$\frac{1}{2}$（4-x_n）=2-$\frac{1}{2}$x_n，
∵數(shù)列{|P_nF|}組成公差為d=$\frac{3}{100}$的等差數(shù)列，
∴|P_nF|-|P₁F|=$\frac{3}{100}$（n-1），可得$\frac{1}{2}$x₁-$\frac{1}{2}$x_n=$\frac{3}{100}$（n-1），
化簡(jiǎn)得x₁-x_n=$\frac{3}{50}$（n-1），
結(jié)合橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍，得x₁-x_n＜2a=4
∴$\frac{3}{50}$（n-1）＜4，得n＜$\frac{203}{3}$，得n的最大值為67．
故答案為：67．

點(diǎn)評(píng) 本題給出橢圓上的n個(gè)點(diǎn)，在焦半徑組成公差為d=$\frac{3}{100}$的等差數(shù)列情況下，求n的最大值．著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)，屬于中檔題．