Question

2．直角三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別是a，b，c，且c為斜邊的長(zhǎng)．
（1）若a，b，c成等比數(shù)列，且a=2，求c的值；
（2）已知a，b，c均為正整數(shù)，若a，b，c是三個(gè)連續(xù)的整數(shù)，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理，即可求出c的值；
（2）根據(jù)三邊長(zhǎng)為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，利用勾股定理，即可求出三邊的長(zhǎng)，從而求出三角形的面積．

解答 解：（1）直角△ABC中，三邊長(zhǎng)a，b，c成等比數(shù)列，且a=2，
∴c=$\frac{^{2}}{2}$；
又c²=a²+b²=2²+b²，
∴c²=4+2c，
解得c=1+$\sqrt{5}$或c=1-$\sqrt{5}$（不合題意，舍去），
∴c的值為1+$\sqrt{5}$；
（2）直角△ABC中，三邊長(zhǎng)a，b，c，且c為斜邊，
當(dāng)a，b，c為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)時(shí)，
（b-1）²+b²=（b+1）²，
解得b=4或b=0（不合題意，舍去）；
∴a=3，c=5，
∴△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$×3×4=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了直角三角形中勾股定理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．