Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-（2a+1）x+2lnx+1（a≤

1

2

）．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線2x-3y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)g（x）=x²-2x，若對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]使得f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

(x＞0)，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)解得a=

1

3

．
（Ⅱ）由f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

(x＞0)，利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅲ）由題意得在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max，由此能求出a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=ax-(2a+1)+

2

x

(x＞0)．…（3分）
由題意得f′(1)=a-2a-1+2=1-a=

2

3

，
解得a=

1

3

．…（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

(x＞0)．
①當(dāng)a≤0時，因為x＞0，所以ax-1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），
單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（7分）
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時，

1

a

＞2，在區(qū)間（0，2）和(

1

a

 ， +∞)上，f'（x）＞0；
在區(qū)間(2 ， 

1

a

)上f'（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2）和(

1

a

 ， +∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2 ， 

1

a

)．…（9分）
③當(dāng)a=

1

2

時，f′(x)=

(x-2)2

2x

≥0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）．…（10分）
（Ⅲ）由題意得在（0，2]上有f（x）_max＜g（x）_max．…（11分）
因為x∈（0，2]，g（x）=x²-2x，
所以g（x）_max=0，由（Ⅱ）可知：f′(x)=

(ax-1)(x-2)

x

．
當(dāng)x∈（0，2]，a≤

1

2

時，x-2≤0，ax-1≤0，
所以f'（x）≥0恒成立，即f（x）在（0，2]上遞增，
所以f（x）_max=f（2）=2a-4a-2+2ln2+1=2ln2-1-2a，
令2ln2-1-2a＜0，得a＞ln2-

1

2

，又a≤

1

2

，
所以a的取值范圍是ln2-

1

2

＜a≤

1

2

．…（15分）

點評：本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．