Question

13．已知函數(shù)f（x），對任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）=f（x）成立，且當x∈[0，2）時，f（x）=2-x．則方程$f（x）=\frac{1}{n}x$在區(qū)間[0，2n）（其中n∈N^*）上所有根的和為n²．

Answer 1

分析 先根據(jù)問題的條件可以分析出：當x∈[2n-2，2n），f（x）=2n-x，再結合函數(shù)的圖象得出x₁+x_n=$\frac{2n}{n+1}$+$\frac{2n^2}{n+1}$=2n（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{n}{n+1}$）=2n，從而可以求出所有根之和．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）成立，∴f（x）是一個以2為周期的函數(shù)，
當x∈[0，2）時，f（x）=2-x；
當x∈[2，4）時，f（x）=f（x-2）=2-（x-2）=4-x；
當x∈[4，6）時，f（x）=f（x-2）=4-（x-2）=6-x；
…
當x∈[2n-2，2n），f（x）=2n-x，
記g（x）=$\frac{1}{n}$x，由圖可知，f（x）=g（x）在區(qū)間[2i-2，2i）（i=1，2，3，…，n）各有一解，
分別記為：x₁，x₂，x₃，…，x_n，下面考察x₁與x_n的數(shù)量關系，
令2-x=$\frac{1}{n}$x，解得x₁=$\frac{2n}{n+1}$；
再令2n-x=$\frac{1}{n}$x，解得x_n=$\frac{2n^2}{n+1}$，
所以，x₁+x_n=$\frac{2n}{n+1}$+$\frac{2n^2}{n+1}$=2n（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{n}{n+1}$）=2n，
同理，x₂+x_n-1=2n，x₃+x_n-2=2n，…，
因此，x₁+x₂+x₃+…+x_n=$\frac{n}{2}$•2n=n²，
故答案為：n²．

點評 本題主要考查了抽象函數(shù)及其應用，涉及函數(shù)的周期性，解析式，圖象交點，以及方程根之間數(shù)量關系的分析與確立，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想，屬于難題．