Question

8．{a_n}為等比數(shù)列，若a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

Answer 1

分析 通過q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$可得公比和首項，進(jìn)而可得a_na_n+1=（ $\frac{1}{2}$）^2n-5，進(jìn)而可得數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a₂=2，a₅=$\frac{1}{4}$，∴q³=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$，
∴q=$\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{{a}_{2}}{q}$=4，
∴數(shù)列{a_n}的通項為：a_n=4•（$\frac{1}{2}$）^n-1=（$\frac{1}{2}$）^n-3；
則a_na_n+1=（$\frac{1}{2}$）^n-3•（$\frac{1}{2}$）^n-2=（$\frac{1}{2}$）^2n-5，
又∵a₁a₂=（$\frac{1}{2}$）2-5=8，
∴數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項，$\frac{1}{4}$為公比的等比數(shù)列，
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=8•$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．
故答案為：$\frac{32}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{n}}$）．

點評 本題考查求等比數(shù)列的通項的應(yīng)用以及數(shù)列求和，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．