Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上在第二象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線的斜率為.

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)作一條斜率為正數(shù)的直線與橢圓從左向右依次交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，使得

【解析】

（1）由和直線的斜率可得方程；代入橢圓方程解方程即可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由和點(diǎn)坐標(biāo)得：軸；假設(shè)直線：，代入橢圓方程可求得的范圍和韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理表示出，可整理出，從而可得；結(jié)合軸可知，進(jìn)而得到結(jié)果.

（1）由及直線的斜率為得直線的方程為：

代入橢圓方程整理得：

解得：或（舍），則：

點(diǎn)的坐標(biāo)為

（2）由及得：軸

設(shè)直線的方程為：

代入橢圓方程整理得：

由直線與橢圓交于，兩點(diǎn)得：，

結(jié)合，解得：

由韋達(dá)定理得：，

直線和的傾斜角互補(bǔ)，從而

結(jié)合軸得：，故

綜上所述：存在，使得