【題目】若中心在原點的橢圓與雙曲線有共同的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),圓的直徑是橢圓的長軸,C是橢圓的上頂點,動直線AB過C點且與圓交于A、B兩點,CD垂直于AB交橢圓于點D.
(1)求橢圓的方程;
(2)求面積的最大值,并求此時直線AB的方程.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求得雙曲線的焦點坐標和離心率,由此求得橢圓的值,進而求得橢圓標準方程.(2)當直線斜率不存在時,不能構(gòu)成三角形,不符合題意.當直線的斜率存在且不為零時,設(shè)出直線的方程,得到直線的方程,計算圓心到直線的的距離,由直線和圓相交的弦長公式計算出弦長.利用直線的方程和橢圓方程,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系以及弦長公式,計算出弦長.由此求得,利用換元法和基本不等式,求得面積的最大值,根據(jù)基本不等式等號成立的條件求得直線的斜率,由此求得直線的方程.當直線的斜率為零時,計算出,不是最大值.
(1)解:雙曲線的焦點為,離心率為 ,
由題意,,,解得:,
.橢圓方程為 ;
(2)解:當直線AB斜率不存在時,不能構(gòu)成三角形,不符合題意
當AB斜率存在且不為0時,設(shè)直線AB的方程為,直線CD的方程為
圓心到直線AB的距離為,
直線AB被圓所截得的弦長,
由得:,
,,
故,
,
令,則,
故,
當且僅當,即時,等號成立,
此時,
當直線AB斜率為0,即軸時,,
面積的最大值為,這時直線AB的方程為.
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【題目】某賓館有50個房間供游客居住,當每個房間定價為每天180元時,房間會全部住滿;房間單價增加10元,就會有一個房間空閑,如果游客居住房間,賓館每間每天需花費20元的各種維護費用.房間定價多少時,賓館利潤最大?
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【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(1)分別判斷與的奇偶性;
(2)若,求的零點個數(shù);
(3)若對任意的,恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】用分別表示的三個內(nèi)角所對邊的邊長,表示的外接圓半徑.
(1),求的長;
(2)在中,若是鈍角,求證:;
(3)給定三個正實數(shù),其中,問滿足怎樣的關(guān)系時,以為邊長,為外接圓半徑的不存在,存在一個或存在兩個(全等的三角形算作同一個)?在存在的情況下,用表示.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,以軸為始邊做兩個銳角,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知A,B的橫坐標分別為
(1)求的值; (2)求的值。
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【題目】如圖1,在△中,,分別為,的中點,為的中點, ,.將△沿折起到△的位置,使得平面平面, 為的中點,如圖2.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)求F到平面A1OB的距離.
圖1 圖2
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【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)若函數(shù)的圖像與的圖像有交點,求的取值范圍;
(3)若函數(shù),是否存在實數(shù)使得最小值為1,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,是橢圓上在第二象限內(nèi)的一點,且直線的斜率為.
(1)求點的坐標;
(2)過點作一條斜率為正數(shù)的直線與橢圓從左向右依次交于兩點,是否存在實數(shù)使得?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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