Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

1

4

（a_n-1）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式
（Ⅱ）設bn=

1

1-a2n

-

1

1-a2n-1

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：

3

8

≤T_n＜

1

2

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）當n=1時，求得a₁=-

1

3

，當n＞1時，運用a_n=S_n-S_n-1，整理可得{a_n}為首項是-

1

3

，公比為-

1

3

的等比數列，由等比數列的通項公式即可得到；
（Ⅱ）求出數列{b_n}的通項，得到b_n＞0，b₁=

3

8

，即可證得不等式的左邊，對通項整理變形，可得b_n＜

32n+32n-1

34n-1

=3^-2n+3^-2n+1，再由等比數列的求和公式，即可證得不等式的右邊．

解答： （Ⅰ）解：當n=1時，a₁=s₁=

1

4

（a₁-1），
解得，a₁=-

1

3

，
當n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

（a_n-1）-

1

4

（a_n-1-1）
即有a_n=-

1

3

a_n-1，
則數列{a_n}為首項是-

1

3

，公比為-

1

3

的等比數列，
即有a_n=a₁q^n-1=（-

1

3

）•（-

1

3

）^n-1=（-

1

3

）ⁿ；
（Ⅱ）證明：b_n=

1

1-a2n

-

1

1-a2n-1

=

a2n-a2n-1

(1-a2n)(1-a2n-1)

=

( 1 3 )2n+( 1 3 )2n-1

(1-( 1 3 )2n)(1+( 1 3 )2n-1)

=

32n+32n-1

(32n-1)(32n-1+1)

由于3²ⁿ-1＞0，則b_n＞0，b₁=

3+9

8×4

=

3

8

，
T_n=b₁+b₂+…+b_n≥b₁=

3

8

；
b_n=

32n+32n-1

(32n-1)(32n-1+1)

=

32n+32n-1

34n-1+32n-32n-1-1

＜

32n+32n-1

34n-1

=3^-2n+3^-2n+1，
又T_n=b₁+b₂+…+b_n＜3^-2+3^-1+3^-4+3^-3+…+3^-2n+3^-2n+1
=（3^-2+3^-4+…+3^-2n）+（3^-1+3^-3+…+3^-2n+1）
=

3-2(1-3-2n)

1-3-2

+

3-1(1-3-2n)

1-3-2

=

1-3-2n

8

+

3

8

（1-3^-2n）=

1

2

-

1

2

×3^-2n＜

1

2

．
則原不等式成立．

點評：本題考查數列的通項和前n項和的關系，考查等比數列的通項和求和公式，考查放縮法證明數列不等式，考查推理能力，屬于中檔題．