Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為12，右頂點為A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點，且|AF₁|=5|AF₂|．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）圓C：（x-2）²+y²=4，點P是橢圓E上任意一點，線段CP交圓C于點Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質,圓的標準方程,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）求出a，b即可得橢圓的標準方程；
（2）點在橢圓上滿足橢圓的方程，又|PQ|=|CP|-|CQ|，即可求得最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，2a=12，
∴a=6，
又由|AF₁|=5|AF₂|，得a+c=5（a-c），
∴c=

2

3

a，
∴b²=a²-c²，
∴橢圓E的方程為：

x2

36

+

y2

20

=1；
（Ⅱ）由已知得，C（2，0），設P（x₀，y₀），則

x02

36

+

y02

20

=1，（-6≤x₀≤6），
∴y02=20-

5

9

x02，
|PQ|=|CP|-|CQ|=

(x02-2)2+y02

-2=

4 9 (x0- 9 2 )2+15

-2，|，（-6≤x₀≤6），
∴當x₀=

9

2

時，|PQ|有最小值

15

-2

點評：本題考查直線、圓、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力和探究能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想及化歸與轉化思想．