Question

已知△ABC的面積為2，且滿足0＜

AB

•

AC

≤4，設(shè)

AB

和

AC

的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),數(shù)量積表示兩個向量的夾角,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由數(shù)量積和三角形的面積公式可得tanθ的范圍，進而可得θ的取值范圍；
（2）化簡可得f（θ）=1+2sin（2θ-

π

3

），由θ的范圍和三角函數(shù)公式可得．

解答： 解：（1）由題意可得

AB

•

AC

=cbcosθ，
∵△ABC的面積為2，∴

1

2

bcsinθ=2，
變形可得cb=

4

sinθ

，
∴

AB

•

AC

=cbcosθ=

4cosθ

sinθ

=

4

tanθ

，
由0＜

AB

•

AC

≤4，可得0＜

4

tanθ

≤4
解得tanθ≥1，又∵0＜θ＜π，
∴向量夾角θ的范圍為[

π

4

，

π

2

）；
（2）化簡可得f（θ）=2sin²（

π

4

+θ）-

3

cos2θ
=2×

1-cos( π 2 +2θ)

2

-

3

cos2θ
=1+sin2θ-

3

cos2θ=1+2sin（2θ-

π

3

）
∵由（1）知θ∈[

π

4

，

π

2

），∴2θ-

π

3

∈[-

π

6

，

2π

3

），
∴sin（2θ-

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴1+sin（2θ-

π

3

）∈[

1

2

，2]，
∴f（θ）的取值范圍為：[

1

2

，2]

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及向量的數(shù)量積和三角函數(shù)的值域，屬中檔題．