Question

3．已知拋物線y²=8x上的點(diǎn)P到雙曲線y²-4x²=4b²的上焦點(diǎn)的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1
• B． y²-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• C． $\frac{{y}^{2}}{4}$-x²=1
• D． $\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 將雙曲線轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合P到雙曲線C的右焦點(diǎn)F₂（c，0）的距離與到直線y=-2的距離之和的最小值為3，可得FF₂=3，從而可求c的值，即可求得b的值，寫出雙曲線方程．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），
∵點(diǎn)P到雙曲線$\frac{{y}^{2}}{4^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$的上焦點(diǎn)F1（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，
∴FF₁=3，
∴c²+4=9，c=$\sqrt{5}$，
∵4b²+b²=c²，
∴b²=1，
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-{x}^{2}=1$．
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)、求雙曲線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．