Question

3．已知a，b∈R，圓C₁：x²+y²-2x+4y-b²+5=0與圓C₂：x²+y²-2（a-b）x-2ay+2a²+b²-2ab-9=0交于不同兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=0，試分別求a，b的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出兩圓的圓心和半徑，由兩圓相交的定義可得a，b的不等式，再由條件結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式和等腰三角形的性質(zhì)，即可得到C₁C₂經(jīng)過原點(diǎn)，即3a=2b，再由二次不等式的解法即可得到a，b的范圍．

解答 解：圓C₁：x²+y²-2x+4y-b²+5=0即為（x-1）²+（y+2）²=b²，
即有圓心C₁為（1，-2），半徑為|b|，
圓C₂：x²+y²-2（a-b）x-2ay+2a²+b²-2ab-9=0即為（x-（a-b））²+（y-a）²=9，
即有圓心C₂為（a-b，a），半徑為3，
由題意可得|3-|b||＜$\sqrt{（a-b-1）^{2}+（a+2）^{2}}$＜3+|b|，①
由$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}+\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{y}_{1}-{y}_{2}}$=0，即為x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
即有|OA|=|OB|，
由于C₁C₂垂直平分AB，即有C₁C₂經(jīng)過原點(diǎn)，
即為-2=$\frac{a}{a-b}$，即3a=2b，
則①可化為（3-|b|）²＜$\frac{5}{9}$（3+b）²＜（3+|b|）²，
解得$\frac{21-3\sqrt{5}}{2}$＜b＜$\frac{21+3\sqrt{5}}{2}$，
即有7-$\sqrt{5}$＜a＜7$+\sqrt{5}$．
故a，b的取值范圍分別為（7-$\sqrt{5}$，7$+\sqrt{5}$）
和（$\frac{21-3\sqrt{5}}{2}$，$\frac{21+3\sqrt{5}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系：相交，主要考查兩圓相交相交弦被圓心連線垂直平分的性質(zhì)，同時考查直線斜率的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．