Question

11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：
$\frac{1}{{1}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}+1}$≥$\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是，第一步驗(yàn)證第一項(xiàng)是否成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)候結(jié)論成立，去驗(yàn)證n=k+1時(shí)候結(jié)論是否成立．若都成立即得證．

解答 證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=$\frac{1}{2}$，右邊=$\frac{1}{2}$結(jié)論成立；
假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即：$\frac{1}{{1}^{2}+1}$+$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+$\frac{1}{{3}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}+1}$≥$\frac{k}{k+1}$；
當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊≥$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$，
下證：$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$≥$\frac{k+1}{k+2}$，
作差得$\frac{k}{k+1}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$-$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{1}{（k+1）^{2}+1}$-$\frac{1}{{k}^{2}+3k+2}$＞0，
得結(jié)論成立，即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立，根據(jù)歸納原理，不等式成立．
即得證．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，屬于中檔題目，同學(xué)們做題的時(shí)候要注意分析題目要求切忌不能用別的方法證明．