Question

12．根據(jù)下列條件求方程．
（1）若拋物線y²=2px的焦點與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點重合，求拋物線的準(zhǔn)線方程（5分） 
（2）已知雙曲線的離心率等于2，且與橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦點，求此雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．（5分）

Answer 1

分析 （1）求得橢圓的右焦點，拋物線的焦點，由題意可得p=4，進(jìn)而得到拋物線的準(zhǔn)線方程；
（2）求出橢圓的焦點，設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意可得c=4，運用a，b，c的關(guān)系和離心率公式，解方程可得a，b，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：（1）易知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點為（2，0），
由拋物線y²=2px的焦點（$\frac{p}{2}$，0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦點重合，
可得p=4，
可得拋物線y²=8x的準(zhǔn)線方程為x=-2．
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點為（-4，0）和（4，0），
可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意可得c=4，即a²+b²=16，
又e=$\frac{c}{a}$=2，
解得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查圓錐曲線的方程和性質(zhì)，主要是拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．