Question

14．如圖，有一矩形相框，放置照片區(qū)域的上、下方要各留3cm空白，左、右兩側(cè)要各留2cm的空白．
（1）若相框周長為80cm，要使其面積不小于300cm²，求相框一邊的范圍；
（2）若相框的面積為400cm²，求框內(nèi)可放照片的最大面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)相框高為xcm，寬為ycm，由題意可得x+y=40，xy≥300，解不等式即可得到所求范圍；
（2）由題意可得xy=400，則框內(nèi)照片面積S=（x-6）（y-4）=xy-6y-4x+24，即S=424-6y-4x，運用基本不等式即可得到最大值．

解答 解：（1）設(shè)相框高為xcm，寬為ycm，
由題意可得x+y=40，xy≥300，
即有x²-40x+300≤0，
解得10≤x≤30，
則相框一邊的范圍為[10，30]；
（2）由題意可得xy=400，
則框內(nèi)照片面積S=（x-6）（y-4）=xy-6y-4x+24，
即S=424-6y-4x，
∵x＞0，y＞0，xy=400，
∴6y+4x≥2$\sqrt{24xy}$=80$\sqrt{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)6y=4x，即x=10$\sqrt{6}$，y=$\frac{20\sqrt{6}}{3}$時等號成立．
則S≤424-80$\sqrt{6}$．
即有照片面積最大為424-80$\sqrt{6}$cm²．

點評 本題考查函數(shù)的模型與應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．