Question

4．在梯形PBCD中，A是PB的中點，DC∥PB，DC⊥CB，且PB=2BC=2DC=4（如圖1所示），將三角形PAD沿AD翻折，使PB=2（如圖2所示），E是線段PD上的一點，且PE=2DE．
（Ⅰ）求四棱錐P-ABCD的體積；
（Ⅱ）在線段AB上是否存在一點F，使AE∥平面PCF？若存在，請指出點F的位置并證明，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）翻折后，△PAB是等邊三角形，棱錐的高為△PAB的高，棱錐的底面ABCD是正方形，代入體積公式計算即可；
（2）過E作EG∥CD，EG交PC于G，連結GF，由線面平行的性質(zhì)可得四邊形AEGF是平行四邊形，故而AF=EG=$\frac{2}{3}CD$，即AF=$\frac{2}{3}AB$．

解答 解：（Ⅰ）如圖所示，過點P作PO⊥AB于點O
∵在梯形PBCD有AD⊥PA，AD⊥AB
∴翻折后仍有AD⊥PA，AD⊥AB又∵PA∩AB=A
∴AD⊥平面PAB，∵PO?平面PAB，
∴AD⊥PO，又∵PO⊥AB，AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵PA=AB=PB=2，∴△PAB是等邊三角形，∴$PO=\sqrt{3}$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PO=\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{3}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
（Ⅱ）存在點F，使AE∥平面PCF，此時$AF=\frac{2}{3}AB$，理由如下：
過E作EG∥CD，EG交PC于G，設F是線段AB上的一點，且$AF=\frac{2}{3}AB$，連接FG，PF，CF，
∵PE=2DE，EG∥CD，
∴EG=$\frac{2}{3}CD$，EG∥CD，
又∵AF=$\frac{2}{3}CD$，AF∥CD，
∴EG=AF，EG∥AF，∴四邊形AEGF是平行四邊形，
∴AE∥GF，又∵AE?平面PCF，GF?平面PCF，
∴AE∥平面PCF．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，線面平行的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．