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20.如圖,在直角坐標系xOy中,已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),b=1,左右兩個焦點分別為F1,F(xiàn)2.過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M,N兩點,且|MN|=1.
(1)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 設(shè)橢圓C的左頂點為A,下頂點為B,動點P滿足PAAB=m4,(m∈R)試求點P的軌跡方程,使點B關(guān)于該軌跡的對稱點落在橢圓C上.

分析 (1)由題意x2a2+y2=1,利用過右焦點F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M,N兩點,且|MN|=1,即可求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 由PAAB=m-4得-4-2x+y=m-4,求出點B關(guān)于P的軌跡的對稱點,即可確定點P的軌跡方程,

解答 解:(Ⅰ)由題意x2a2+y2=1,
設(shè)M(c,y),(y>0)∴\frac{c^2}{a^2}+{y^2}=1…(2分)
{y^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{c^2}}}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2},
y=\frac{1}{a}=\frac{1}{2},即a=2…(4分)
∴所求橢圓C的方程為\frac{x^2}{4}+{y^2}=1…(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知點A(-2,0),點B為(0,-1),設(shè)點P的坐標為(x,y)
\overrightarrow{PA}=(-2-x,-y),\overrightarrow{AB}=(2,-1),…(6分)
\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{AB}=m-4得-4-2x+y=m-4,
∴點P的軌跡方程為y=2x+m…(8分)
設(shè)點B關(guān)于P的軌跡的對稱點為B'(x0,y0),
則由軸對稱的性質(zhì)可得:\frac{{{y_0}+1}}{x_0}=-\frac{1}{2},\frac{{{y_0}-1}}{2}=2•\frac{x_0}{2}+m,
解得{x_0}=\frac{-4-4m}{5},{y_0}=\frac{2m-3}{5},…(10分)
∵點B'(x0,y0)在橢圓上,∴{(\frac{-4-4m}{5})^2}+4{(\frac{2m-3}{5})^2}=4
整理得2m2-m-3=0解得m=-1或 m=\frac{3}{2}…(12分)
∴點P的軌跡方程為y=2x-1或y=2x+\frac{3}{2},
經(jīng)檢驗y=2x-1和y=2x+\frac{3}{2}都符合題設(shè),
∴滿足條件的點P的軌跡方程為y=2x-1或y=2x+\frac{3}{2}…(14分)

點評 本題考查橢圓方程與性質(zhì),考查軌跡方程,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

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