Question

20．已知$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，若|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{10}$，則$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角的余弦值的最小值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖，設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為θ₁，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$的夾角為θ₂，可得$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ₁-θ₂ ，計(jì)算cos（θ₁-θ₂）=$\frac{{2\overrightarrow}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}}}$，再根據(jù)4${\overrightarrow}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=10，可得cos（θ₁-θ₂）=$\frac{10-{2\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow}^{2}}}$．設(shè)y=$\frac{10-{2\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow}^{2}}}$，將該式變成：4${\overrightarrow}^{4}$+（30y²-40）${\overrightarrow}^{2}$+100-100y=0，根據(jù)△≥0求得y的范圍，可得y的最小值，從而得出結(jié)論．

解答 解：如圖，設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角為θ₁，$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow$的夾角為θ₂，∴$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角為θ₁-θ₂，
∴cos（θ₁-θ₂）=cosθ₁cosθ₂+sinθ₁sinθ₂=$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$•$\frac{2|\overrightarrow|}{\sqrt{10}}$+$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|}$•$\frac{|\overrightarrow{a}|}{\sqrt{10}}$=$\frac{{2\overrightarrow}^{2}{-\overrightarrow{a}}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}}}$．
∵4${\overrightarrow}^{2}$+${\overrightarrow{a}}^{2}$=10，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$=10-4${\overrightarrow}^{2}$，∴cos（θ₁-θ₂）=$\frac{10-{2\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow}^{2}}}$．
設(shè)y=$\frac{10-{2\overrightarrow}^{2}}{\sqrt{10}•\sqrt{10-{3\overrightarrow}^{2}}}$；將該式變成：4${\overrightarrow}^{4}$+（30y²-40）${\overrightarrow}^{2}$+100-100y=0．
將該式看成關(guān)于${\overrightarrow}^{2}$的一元二次方程，該方程有解，∴△=（30y²-40）²-16（100-100y）≥0；
解得y≥$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，或y≤-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$（舍去）；
∴則$\overrightarrow{c}$與$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角的余弦值的最小值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，三角函數(shù)的定義，以及兩角差的余弦公式，一元二次方程有解時(shí)判別式△≥0，屬于中檔題．