Question

5．已知在△ABC中，BC=5，G、O分別是△ABC的重心和外心，且$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，則△ABC的形狀是鈍角三角形．

Answer 1

分析 在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，取BC的中點為D，連接AD、OD、GD，運用重心和外心的性質(zhì)，運用向量的三角形法則和中點的向量形式，以及向量的平方即為模的平方，可得${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-30，又BC=5，則有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，運用余弦定理即可判斷三角形的形狀

解答 解：在△ABC中，G，O分別為△ABC的重心和外心，
取BC的中點為D，連接AD、OD、GD，如圖：
則OD⊥BC，GD=$\frac{1}{3}$AD，
∵$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
由$\overrightarrow{OG}$•$\overrightarrow{BC}$=5，
則（$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DG}$）$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{DG}•\overrightarrow{BC}$=$-\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）$•\overrightarrow{BC}$=5，
即-$\frac{1}{6}$•（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$）（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=5，
則${\overrightarrow{AC}}^{2}-{\overrightarrow{AB}}^{2}$=-30，
又BC=5，
則有|$\overrightarrow{AB}$|²=|$\overrightarrow{AC}$|²+$\frac{6}{5}$|$\overrightarrow{BC}$|²＞|$\overrightarrow{AC}$|²+|$\overrightarrow{BC}$|²，
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C為鈍角．
則三角形ABC為鈍角三角形；
故答案為：鈍角三角形．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運用，主要考查向量的三角形法則和向量的平方即為模的平方，運用余弦定理判斷三角形的形狀是解題的關(guān)鍵．