Question

4．已知函數(shù)f（x）=ln（ax+1）+x²-ax-m（a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=1時，函數(shù)f（x）存在3個零點x₁，x₂，x₃，設x₁＜x₂＜0＜x₃，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導，利用導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用二次函數(shù)對參數(shù)進行討論．
（2）求導，利用導函數(shù)判斷函數(shù)的極值，利用極值模擬函數(shù)圖象，結合函數(shù)零點的個數(shù)得出極值的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$+2x-a=$\frac{2a{x}^{2}+2x-{a}^{2}x}{ax+1}$   函數(shù)的定義域為（-$\frac{1}{a}$，+∞）
當a＞$\sqrt{2}$時
在（-$\frac{1}{a}$，0），（ $\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
在（0，$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$）f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
當a=$\sqrt{2}$時，f（x）在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）是增函數(shù)．
當0＜a＜$\sqrt{2}$時
在（-$\frac{1}{a}$，$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$），（ 0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
f（x）在（$\frac{{a}^{2}-2}{2a}$，0）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．
（2）當a=1時，f（x）=ln（x+1）+x²-x-m
f′（x）=$\frac{x（2x+1）}{x+1}$
令f′（x）=0得：x=0和x=-$\frac{1}{2}$
在（-1，-$\frac{1}{2}$），（0，+∞）f′（x）＞0，f（x）遞增，
在（-$\frac{1}{2}$，0）上，f′（x）＜0，f（x）遞減，
∴f（-$\frac{1}{2}$）為極大值，f（0）為極小值
若使函數(shù)f（x）存在3個零點x1，x2，x3，設x1＜x2＜0＜x3
則：f（-$\frac{1}{2}$）＞0且f（0）＜0
∴0＜m＜$\frac{3}{4}$-ln2

點評 考察了利用導函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，對二次函數(shù)參數(shù)的討論問題，極值的判斷和對題意的理解．